Question

10．已知定点A（-5，0），B（5，4），点P为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上右支上任意一点，求|PB|-|PA|的最大值．

Answer 1

分析 设双曲线左焦点为F₂，根据双曲线的定义可知|PB|-|PA|=|PB|-|PF₂|-2a，进而可知当P、F₂、B三点共线时有最大值，根据双曲线方程可求的F₂的坐标，利用两点间的距离公式求得答案．

解答 解：由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1可知A（-5，0），是双曲线的左焦点，设双曲线左焦点为F₂，
则|PB|-|PA|=|PB|-|PF₂|-2a，|PB|-|PF₂|≤|BF₂|，
当P、F₂、B三点共线时有最大值|BF₂|=4，而对于这个双曲线，2a=8，
所以最大值为4-8=-4．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．解题的过程灵活运用了双曲线的定义和用数形结合的方法解决问题．