Question

20．已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分割为 F₁，F₂，左右端点分别为曲 A₁，A₂，抛物线 y²=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与 F₂重合，AF₂=$\frac{5}{3}$
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 $（\frac{2}{7}，0）$作直线 l与椭圆相交于P，Q两点（不与 A₁，A₂重合），求 $\overrightarrow{{A_2}P}$与 $\overrightarrow{{A_2}Q}$夹角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，设A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），求出抛物线y²=4x的焦点坐标，可得c²=1，进而分析可得A的坐标，代入椭圆的方程可得有$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{24}{9（{a}^{2}-1）}$=1，解可得a²=4，进而可得b²=3，即可得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据题意，分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=$\frac{2}{7}$，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x-$\frac{2}{7}$）；每种情况下求出${k}_{{A}_{2}P}$与${k}_{{A}_{2}Q}$的值，再求其乘积均可得${k}_{{A}_{2}P}$•${k}_{{A}_{2}Q}$=-1，由向量数量积的性质分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），
抛物线y²=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与 F₂重合，而抛物线 y²=4x的焦点为（1，0），
则C²=1，
由题意可得AF₂=x₀+$\frac{p}{2}$=x₀+1=$\frac{5}{3}$，故x₀=$\frac{2}{3}$；
所以y₀²=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，则y₀=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
则A（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
有$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{24}{9（{a}^{2}-1）}$=1，解可得a²=4，
又由c²=1，则b²=3，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=$\frac{2}{7}$，由于$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=\frac{2}{7}}\end{array}\right.$，可得$\frac{{y}^{2}}{3}$=1-$\frac{1}{49}$=$\frac{48}{49}$，
所以y=±$\frac{12}{7}$，所以P（$\frac{2}{7}$，$\frac{12}{7}$）Q（$\frac{2}{7}$，-$\frac{12}{7}$），因为A₂（2，0），所以${k}_{{A}_{2}P}$=-1，${k}_{{A}_{2}Q}$=1，
所以${k}_{{A}_{2}P}$•${k}_{{A}_{2}Q}$=-1，所以所以A₂P与A₂Q垂直，
②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x-$\frac{2}{7}$）；
联立可得$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=k（x-\frac{2}{7}）}\end{array}\right.$，⇒49（3+4k²）x²-112k²x+16k²-12×49=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），A₂（2，0），
则x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{7（3+4{k}^{2}）}$，x₁•x₂=$\frac{16{k}^{2}-12×49}{49（3+4{k}^{2}）}$，
${k}_{{A}_{2}P}$=$\frac{{y}_{1}}{（{x}_{1}-2）}$，${k}_{{A}_{2}Q}$═$\frac{{y}_{2}}{（{x}_{2}-2）}$
${k}_{{A}_{2}P}$•${k}_{{A}_{2}Q}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=-1，
所以A₂P与A₂Q垂直，
综合可得所以$\overrightarrow{{A_2}P}$与$\overrightarrow{{A_2}Q}$夹角的大小为90°．

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合运用，涉及抛物线的简单性质，解题注意圆锥曲线的方程的标准形式，本题求出抛物线的焦点是解题的突破点之一．