Question

10．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，-$\frac{1}{4}$），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

分析 对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，得a与b有等量关系，结合c²=a²-b²，消去c，即得a²，b²，从而得椭圆C的标准方程．
对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀），由韦达定理及中点公式，得x₀及y₀的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，-$\frac{1}{4}$）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．

解答 解：（1）设F（-c，0），由离心率$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$知，
a²=3c²=3（a²-b²），得3b²=2a²．…①
易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=-c，
代入椭圆方程中，得$\frac{（-c）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{b}=1$，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$
由题意，得$2•\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，得$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}$．…②
联立①、②，得$a=\sqrt{3}$，b²=2，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理，得（3k²+2）x²+6ktx+3t²-6=0，…③
有△=24（3k²+2-t²）＞0，得3k²+2＞t²，…④
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为G（x₀，y₀），
由韦达定理，得x₁+x₂=$-\frac{6kt}{3{k}^{2}+2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{t}^{2}-6}{3{k}^{2}+2}$，
则x₀=$-\frac{3kt}{3{k}^{2}+2}$，${y}_{0}=k•\frac{-3kt}{3{k}^{2}+2}+t=\frac{2t}{3{k}^{2}+2}$，
∴线段MN的垂直平分线方程为：y-$\frac{2t}{3{k}^{2}+2}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{3kt}{3{k}^{2}+2}$），
将P点的坐标（0，-$\frac{1}{4}$）代入上式中，得-$\frac{1}{4}$-$\frac{2t}{3{k}^{2}+2}$=-$\frac{1}{k}$（0+$\frac{3kt}{3{k}^{2}+2}$），
化简得：3k²+2=4t，代入④式中，有4t＞t²，得0＜t＜4．                  
|MN|=$\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{（\frac{-6kt}{3{k}^{2}+2}）^{2}-4•\frac{3{t}^{2}-6}{3{k}^{2}+2}}$
=$2\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{\frac{18{k}^{2}-6{t}^{2}+12}{（3{k}^{2}+2）^{2}}}$．
设原点O到直线MN的距离为d，则$d=\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$•|MN|•d=$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{\frac{18{k}^{2}-6{t}^{2}+12}{（3{k}^{2}+2）^{2}}}$．$\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{-6{t}^{2}+24t}{16}}$=$\frac{\sqrt{-6（t-2）^{2}+24}}{4}$，
当t=2时，S_△MON有最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此时，由3k²+2=4t知，k=±$\sqrt{2}$，
∴△MON面积的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，此时直线l的方程为y=±$\sqrt{2}$x+2．

点评 本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：
1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a²，b²的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a²=b²+c²”运用．
2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．