Question

5．已知抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，由AF⊥x轴，可得$\frac{p}{2}$=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A$（\frac{p}{2}，p）$，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，又b²=a²-c²，利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵AF⊥x轴，
∴$\frac{p}{2}$=c，
把x=$\frac{p}{2}$代入抛物线方程可得：y²=$2p•\frac{p}{2}$，解得y=p．
∴A$（\frac{p}{2}，p）$，即A（c，2c）．
代入椭圆的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又b²=a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
化为e⁴-6e²+1=0，0＜e＜1．
解得e²=3-2$\sqrt{2}$，
∴$e=\sqrt{2}$-1．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．