Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（$\sqrt{2}$，0），且过点（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点．P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁）．求3x₁-4y₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，得a=2，c=$\sqrt{2}$，再利用b²=a²-c²，即可得出椭圆的标准方程；
（2）由P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式可得：x₁，y₁可用x₀，y₀表示．再利用点P（x₀，y₀）在椭圆C$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$上，即可得出．

解答 解：（1）由题意，得a=2，c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）∵P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}×2=-1}\\{\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{2}=2×\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2}}\end{array}\right.$，
解得${x}_{1}=\frac{4{y}_{0}-3{x}_{0}}{5}$，${y}_{1}=\frac{3{y}_{0}+4{x}_{0}}{5}$，
∴3x₁-4y₁=-5x₀，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$上，
∴-2≤x₀≤2，
∴-10≤5x₀≤10，
即3x₁-4y₁的取值范围是[-10，10]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．