Question

18．已知函数f（x）=e^x-m-x，其中m为常数．
（1）若对任意x∈R有f（x）≥0成立，求m的取值范围；
（2）当m＞1时，判断f（x）在[0，2m]上零点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，由最小值大于等于0求得m的取值范围；
（2）当m＞1时，由f（0）•f（m）＜0，得到f（x）在（0，m）上有一个零点．再由导数求得f（2m）＞0．
得到f（m）•f（2m）＜0，得f（x）在（m，2m）上有一个零点．故可得f（x）在[0，2m]上有两个零点．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-m-x，∴f′（x）=e^x-m-1，
令f′（x）=0，得x=m．
故当x∈（-∞，m）时，e^x-m＜1，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（m，+∞）时，e^x-m＞1，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故当x=m时，f（m）为极小值，也是最小值．
令f（m）=1-m≥0，得m≤1，
即对任意x∈R，f（x）≥0恒成立时，m的取值范围是（-∞，1]；
（2）由（1）知f（x）在[0，2m]上至多有两个零点，
当m＞1时，f（m）=1-m＜0．
∵f（0）=e^-m＞0，f（0）•f（m）＜0，
∴f（x）在（0，m）上有一个零点．
又f（2m）=e^m-2m，令g（m）=e^m-2m，
∵当m＞1时，g′（m）=e^m-2＞0，
∴g（m）在（1，+∞）上单调递增．
∴g（m）＞g（1）=e-2＞0，即f（2m）＞0．
∴f（m）•f（2m）＜0，
∴f（x）在（m，2m）上有一个零点．
故f（x）在[0，2m]上有两个零点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数零点的判断方法，正确分类是解答（2）的关键，是中档题．