Question

3．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S． 
①当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，S为四边形
②截面在底面上投影面积恒为定值$\frac{3}{4}$
③存在某个位置，使得截面S与平面A₁BD垂直
④当CQ=$\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=$\frac{1}{3}$
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对选项逐个进行检验即可，对于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S为四边形；对于②则找其投影即可；对于③，则需要找线面垂直关系即可；对于④，则需补图完成．

解答 解：设截面与DD₁相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
对于①，当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；
对于②，当CQ＞$\frac{1}{2}$时，投影面积不为$\frac{3}{4}$，故②不正确；
对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A₁BD垂直，故③正确；
对于④，右补充一个正方体后，得到S与C₁D₁的交点R满足C₁R=$\frac{1}{3}$，故④正确；
故选：C．

点评 本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，对于中点问题的处理思路是：无中点，取中点，相连得到中位线．属于中档题．