Question

11．如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠BAD=120°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=6，E是棱PD的三等分点（PE＞ED），F是棱PC的中点，底面对角线AC与BD相交于点O．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱锥A-CEF的体积．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，由菱形ABCD可得BD⊥AC，即可证明BD⊥平面PAC；
（II）设点E到平面PAC的距离为d，由E是棱PD的三等分点（PE＞ED），BD⊥平面PAC，可得d=$\frac{2}{3}OD$，利用三棱锥A-CEF的体积V=V_E-AFC=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△AFC}$，即可得出．

解答 （I）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
由菱形ABCD可得BD⊥AC，PA∩AC=A．
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC；
（II）解：菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6．
则OA=3，OD=$3\sqrt{3}$．
设点E到平面PAC的距离为d，
∵E是棱PD的三等分点（PE＞ED），BD⊥平面PAC，
∴d=$\frac{2}{3}OD$=2$\sqrt{3}$，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC．
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$×6²=18．
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}{S}_{△PAC}$=9．
∴三棱锥A-CEF的体积V=V_E-AFC=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△AFC}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×9$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、菱形的性质、等边三角形与直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．