Question

19．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，M是PC的中点，∠PDC=90°，∠PDA=90°，∠DAB=60°
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDM；
（Ⅱ）若PD=2，且二面角C-DM-B的平面角的正切值等于$\sqrt{6}$，求三棱锥M-BCD的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接AC，与BD相交于点O，连接OM．由底面ABCD是菱形，可得AO=OC，利用三角形中位线定理可得：OM∥AP，利用线面平行的判定定理可得PA∥平面BDM；
（II）由∠PDC=90°，∠PDA=90°，可得：PD⊥平面ABCD．取AB的中点E，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，可得DE⊥AB，DC⊥DE．分别以DE，DC，DP，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系．D-xyz．设DC=a，设平面DMB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用向量垂直与数量积的关系可得$\overrightarrow{m}$．取平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，设二面角C-DM-B的平面角为θ，由图可知：θ为锐角．由$tanθ=\sqrt{6}$，可得cosθ=$\frac{1}{\sqrt{7}}$．解得a．利用三棱锥M-BCD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}PD•{S}_{△BCD}$．

解答 （I）证明：如图所示，连接AC，与BD相交于点O，连接OM．
∵底面ABCD是菱形，
∴AO=OC，
又M是PC的中点，
∴OM∥AP，
又AP?平面BDM，OM?平面BDM．
∴PA∥平面BDM；
（II）解：∵∠PDC=90°，∠PDA=90°，
∴PD⊥DC，PD⊥DA，AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
取AB的中点E，∵底面ABCD是菱形，
∠DAB=60°，
则DE⊥AB，
∵DC∥AB，
∴DC⊥DE．分别以DE，DC，DP，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系．D-xyz．
设DC=a，则P（0，0，2），C（0，a，0），M$（0，\frac{a}{2}，1）$，B$（\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$．
$\overrightarrow{DM}$=$（0，\frac{a}{2}，1）$，$\overrightarrow{DB}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$．
设平面DMB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=\frac{a}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（1，-1，\frac{a}{2}）$．
取平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{4}}}$，
设二面角C-DM-B的平面角为θ，由图可知：θ为锐角．
∵$tanθ=\sqrt{6}$，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{7}}$．
∴$\frac{1}{\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{4}}}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$，
∴$2+\frac{{a}^{2}}{4}$=7，
解得a=$2\sqrt{5}$．
∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=5$\sqrt{3}$．
∴三棱锥M-BCD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}PD•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{6}×2×5\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、线面平行与垂直的判定与性质定理、法向量的夹角与二面角的关系、同角三角函数基本关系式、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．