Question

19．已知函数f（x）=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）把函数化成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式；
（2）求函数的最小正周期；
（3）求函数的最大值与最小值及取得最大值与最小值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式和两角和的正弦函数公式化简即可得解．
（2）利用正弦函数的周期公式即可求解．
（3）由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的最大值与取得最大值x的取值范围．由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的最小值与取得最小值x的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（3）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，即：x∈{x/x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z}时，函数的最大值为2；
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即：x∈{x/x=k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z}时，函数的最大值为-2；

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．