Question

10．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b≠0）的最大值时2，且f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，求f（$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，既有a²+b²=4，①，又f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{3}b}{2}$=$\sqrt{3}$代入①，结合ab≠0，即可解得a，b的值，从而可求f（$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），
所以f（x）_max=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
所以a²+b²=4，①
f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{3}b}{2}$=$\sqrt{3}$，②
则有：ab≠0，
将②代入①，化简得：（b-1）（b-2）=0，
解得，b=1，a=$\sqrt{3}$或，b=2，a=0（不满足ab≠0，舍去）
所以：f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$+$\frac{b}{2}$=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$=2．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．