Question

20．数列$\frac{1}{2}$，2$\frac{3}{4}$，4$\frac{7}{8}$，6$\frac{15}{16}$，…的前n项和S_n=n²+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1．

Answer 1

分析 求出数列的通项公式，利用分组求和法进行求解即可．

解答 解：数列的通项公式为a_n=2（n-1）+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$=2（n-1）+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则数列$\frac{1}{2}$，2$\frac{3}{4}$，4$\frac{7}{8}$，6$\frac{15}{16}$，…的前n项和S_n=（1+3+5+…2n-1）-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{2}^{3}}-…-\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1+2n-1}{2}×n$-$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=n²+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1，
故答案为：n²+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1

点评 本题主要考查数列求和的计算，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的前n项和公式是解决本题的关键．