Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，P是A₁C₁上一点．
（1）若P是棱A₁C₁的中点，求证：A₁B∥平面B₁PC；
（2）若二面角B₁-CP-A的大小为60°，求三棱锥B₁-PCC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明线面平行，可利用线面平行的判定定理，则想到连接BC₁，交B₁C于M，连接MP后可由三角形的中位线知识得到线线平行，进一步得到线面平行；
（2）找出二面角B₁-CP-A的平面角，通过解三角形得到P点位置，求得三角形CC₁P的面积，代入棱锥的体积公式得答案．

解答 （1）证明：连接BC₁，交B₁C于M，连接MP，
∵P是棱A₁C₁的中点，∴MP∥A₁B，
∵A₁B?平面B₁PC，MP?平面B₁PC，
∴A₁B∥平面B₁PC；
（2）解：∵A₁B₁⊥A₁C₁，A₁B₁⊥AA₁，且AA₁∩A₁C=A₁，
∴B₁A₁⊥平面ACC₁A₁，取A₁C的中点O，连接MO，
则MO⊥平面ACC₁A₁，
过O作ON⊥PC，垂足是N，连接MN，则∠MNO为二面角
B₁-CP-A的平面角，等于60°，
在Rt△MON中，∵OM=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，
∴ON=$\frac{OM}{tan60°}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∵AC=1，$A{A}_{1}=\sqrt{2}$，∴${A}_{1}C=\sqrt{3}$，则OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$sin∠OCN=\frac{ON}{OC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}$，
∴$cos∠OCN=\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设PC₁=x，PC²=x²+2，A₁P=1-x，
∴${A}_{1}{P}^{2}={A}_{1}{C}^{2}+P{C}^{2}-2{A}_{1}C•PC•cos∠OCN$，
即$（1-x）^{2}=（\sqrt{3}）^{2}+{x}^{2}+2-2×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{{x}^{2}+2}$，
整理并解得：x=2（舍），或x=$\frac{2}{5}$，
∴${V}_{{B}_{1}-PC{C}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{2}}{15}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．