Question

16．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0）的图象上相邻的最低点的距离为4．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）图象上的两点A、B的横坐标分别为-1，2，0为坐标原点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．
（2）直接利用函数的关系式，求出点A和B的坐标，最后求出三角形的面积．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}sinωx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx$$-\frac{1}{2}sinωx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx$
=$\sqrt{3}cosωx$
由于函数图象上相邻的最低点的距离为4，
所以：T=$\frac{2π}{ω}=4$
解得：$ω=\frac{π}{2}$
所以函数的解析式为：$f（x）=cos\frac{π}{2}x$．
令：$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{2}x≤2kπ+\frac{3π}{2}$（k∈Z）
解得：1+2k≤x≤2k+3（k∈Z）
所以函数的单调递减区间为：[1+2k，2k+3]（k∈Z）．
（2）由（1）得：$f（x）=cos\frac{π}{2}x$，
由于函数$f（x）=cos\frac{π}{2}x$图象上的两点A、B的横坐标分别为-1，2，0为坐标原点
所以：把点的横坐标代入解析式求得：
点A（-1，0），点B（2，-$\sqrt{3}$），根据点的位置正好在一个周期内，
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数单调区间的确定，利用函数的图象求三角形的面积．