Question

11．已知矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{2}\end{array}）$
（1）矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{2}\end{array}）$对应的变换把直线l：x+y=0变为直线l′，求直线l′的方程．
（2）求A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析 （1）任取直线l：x+y=0上一点P（x′，y′），经矩阵变换后点为P（x′，y），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程；
（2）求出|A|，即可求A的逆矩阵A^-1．

解答 解：（1）任取直线l：x+y=0上一点P（x′，y′），
经矩阵变换后点为P′（x，y），则有$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{2}\end{array}）$（x′，y′）=（x，y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′+2y′}\\{y=-x′+2y′}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{x-y}{2}}\\{y′=\frac{x+y}{4}}\end{array}\right.$，
代入直线l：x′+y′=0，化简得3x-y=0．
直线l′的方程3x-y=0；
（2）∵矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{2}\end{array}）$，
∴|A|=1×2-2×（-1）=4，
∴A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{-\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}}\end{array}]$．

点评 本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，矩阵，考查矩阵变换，关键是正确利用矩阵的乘法公式．