Question

3．在等比数列{a_n}中，n∈N^*，公比0＜q＜1，且a₁+a₄=9，又a₁与a₄的等比中项为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=4-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式
（Ⅲ）设T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）l利用等比数列的通项公式即可解出q，a₁，可得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a}_{n}={2}^{4-n}$，从而b_n=4-log₂a_n=n，利用等差数列的前n项和公式即得S_n；
（Ⅲ）由（II）知，$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁+a₄=9，a₁与a₄的等比中项为2$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{4}=9}\\{{a}_{1}{a}_{4}=（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，又公比0＜q＜1，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{4}=1}\end{array}\right.$，
∴8q³=1，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$8×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-4}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a}_{n}={2}^{4-n}$，从而b_n=4-log₂a_n=4-$lo{g}_{2}{2}^{4-n}$=n，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（Ⅲ）由（II）知，$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
则T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2-\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．