Question

15．已知f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）设a=2，解关于x的不等式：f（x）+g（x）≤7；
（2）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用零点分区间的方法，讨论当x≥1时，当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，当x≤$\frac{1}{2}$时，去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；
（2）求出g（x）≤5的解集，再由绝对值不等式的解法再求f（x）≤6的解集，由恒成立思想即可得到a-3≤-2，解出即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）+g（x）≤7即为
|2x-2|+|2x-1|≤5，
当x≥1时，不等式即为2x-2+2x-1≤5即1≤x≤2；
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，不等式即为2-2x+2x-1≤5，解得1≤5，即有$\frac{1}{2}$＜x＜1；
当x≤$\frac{1}{2}$时，不等式即为2-2x+1-2x≤5，解得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
综上可得，不等式的解集为[-$\frac{1}{2}$，2]；
（2）g（x）≤5即|2x-1|≤5，解得-2≤x≤3，
f（x）≤6等价为a-6≤2x-a≤6-a，
即有a-3≤x≤3，
由恒成立思想可得，a-3≤-2，
解得a≤1．
则a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法以及恒成立思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．