Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin²A+sin²B+sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，且a=2，则△ABC的外接圆半径R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件和正余弦定理以及基本不等式可判△ABC为正三角形，再有正弦定理可得R．

解答 解：由正弦定理可化sin²A+sin²B+sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC为a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$absinC，
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，代入上式可得2（a²+b²）=2$\sqrt{3}$absinC+2abcosC，
∴2（a²+b²）=4ab（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$cosC）=4absin（C+$\frac{π}{6}$），
∴a²+b²=2absin（C+$\frac{π}{6}$）≤2ab，
又由基本不等式可得a²+b²≥2ab，∴a²+b²=2ab，
∴（a-b）²=0且sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，
∴a=b且C=$\frac{π}{3}$，∴△ABC为正三角形，
由正弦定理可得2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查正余弦定理的应用以及三角形形状的判断，涉及基本不等式的应用，属中档题．