Question

16．已知f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$，g（x）图象由f（x）向右平移$\frac{π}{12}$个单位，横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标缩为原来的m（0＜m＜$\frac{1}{2}$）．向上平移一个单位得到．
（1）求f（x）最小正周期和递减区间；
（2）求g（x）的表达式；
（3）判断g（x）=x实根个数．

Answer 1

分析 （1）由和差角公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），易得最小正周期和递减区间；
（2）由图象变换的规则，逐步变换可得；
（3）作出函数y=x和g（x）的图象，数形结合可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2sinxcosx+$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函数f（x）的递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（2）由图象变换可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，
再横坐标伸长到原来的两倍得到y=sinx，然后纵坐标缩为原来的m倍得到y=msinx，
再向上平移一个单位得到g（x）=msinx+1；
（3）作出函数y=x和g（x）=msinx+1，（0＜m＜$\frac{1}{2}$）的图象，
可得g（x）=x实根个数为1

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和单调性以及图象变换，属中档题．