Question

1．如图，已知圆E₁：x²+y²=4，E₂：x²+y²=16，点M（1，0），动点P，Q分别在圆E₁，E₂上，且MP⊥MQ．
（1）在x轴上是否存在点N，使得|PN|=2|PM|？若存在，求出点N的坐标；否则，说明理由；
（2）求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），N（a，0），利用|PN|=2|PM|，可得（x-a）²+y²=4[（x-1）²+y²]，结合x²+y²=4，整理可得2（a-4）x=a²-16，即可得出结论；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），有条件可得|PQ|² =22-2（x₁+x₂）．设PQ中点为N（x₀，y₀），则|PQ|²=22-4x₀ ，利用线段的中点公式求得（x₀-$\frac{1}{2}$）²+y₀²=$\frac{19}{4}$，再由x₀ 的范围，求得|PQ|的范围．

解答 解：（1）设P（x，y），N（a，0），则
∵|PN|=2|PM|，
∴（x-a）²+y²=4[（x-1）²+y²]，
利用x²+y²=4，整理可得2（a-4）x=a²-16，
∴a=4时恒成立，故存在N（4，0），使得|PN|=2|PM|；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则|PQ|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=20-2（x₁x₂+y₁y₂）．
∵-2≤x₁≤2，MP⊥MQ，
∴（x₁-1，y₁）．（x₂-1，y₂）=0，即 （x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，即 x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-1，
∴|PQ|²=20-2（x₁+x₂-1）=22-2（x₁+x₂）．
设PQ中点为N（x₀，y₀），则|PQ|²=22-4x₀ ，
∵$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{0}={x}_{1}+{x}_{2}①}\\{2{y}_{0}={y}_{1}+{y}_{2}②}\end{array}\right.$，
∴①²+②²得 4（x₀²+y₀²）=20+2（x₁x₂+y₁y₂）=20+2（x₁+x₂-1）=18+4x₀，
即（x₀-$\frac{1}{2}$）²+y₀²=$\frac{19}{4}$，
∴点N（x₀，y₀）的轨迹是以（$\frac{1}{2}$，0）为圆心、半径等于$\frac{\sqrt{19}}{2}$的圆，
∴x₀的取值范围是[$\frac{1-\sqrt{19}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{19}}{2}$]，
∴20-2$\sqrt{19}$≤|PQ|²≤20+2$\sqrt{19}$，
故|PQ|的范围为[$\sqrt{19}$-1，$\sqrt{19}$+1]．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．