Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是棱A₁B₁、CC₁的点，且DC₁⊥A₁B₁，A₁D=$\frac{2}{3}$A₁B₁，CE=$\frac{1}{3}$CC₁，求证：
（1）直线DC₁∥平面A₁BE；
（2）平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析 （1）过DH∥B₁B，交A₁B于F，利用线面平行的判定定理即可证明，直线DC₁∥平面A₁BE；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

解答 证明：（1）过DH∥B₁B，交A₁B于F，连结EF，
∵A₁D=$\frac{2}{3}$A₁B₁，
∴$\frac{DF}{{B}_{1}B}=\frac{{A}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{2}{3}$，
∵CE=$\frac{1}{3}$CC₁，
∴C₁E=$\frac{2}{3}$CC₁，
即$\frac{DF}{B{B}_{1}}=\frac{{C}_{1}E}{C{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴四边形C₁EFD为平行四边形，
∴C₁D∥EF，
∵C₁D?平面A₁BE，EF?平面A₁BE，
∴直线DC₁∥平面A₁BE；
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，DC₁⊥A₁B₁
∴DC₁⊥平面A₁ABB₁，
∵C₁D∥EF，
∴EF⊥平面A₁ABB₁，
∵EF?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

点评 本题主要考查空间线面平行和面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．