Question

7．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，E，F分别是C₁D₁，A₁B的中点．
（1）证明：EF⊥A₁C；
（2）求三棱锥A₁-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取B₁B的中点M，连接C₁M，B₁C，FM，证明：C₁M⊥平面A₁B₁C，可得结论；
（2）连接D₁C，作C₁N⊥D₁C，则C₁N为C₁到平面A₁C的距离，由等面积可得C₁N，利用转化底面的方法，求出三棱锥A₁-BCE的体积．

解答 （1）证明：取B₁B的中点M，连接C₁M，B₁C，FM，则
四边形EFMC₁是平行四边形，所以EF∥C₁M．
由题意，AB=2，BC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，可得△C₁B₁M∽△B₁C₁C，
∴C₁M⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥平面B₁C，
∴A₁B₁⊥C₁M，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴C₁M⊥平面A₁B₁C，
∵A₁C?平面A₁B₁C，
∴C₁M⊥A₁C，
∴EF⊥A₁C；
（2）解：由题意，A₁B=$\sqrt{6}$，∴${S}_{△{A}_{1}BC}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×1$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
连接D₁C，作C₁N⊥D₁C，则C₁N为C₁到平面A₁C的距离，由等面积可得C₁N=$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴E到平面A₁C的距离为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴三棱锥A₁-BCE的体积=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．