Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BCC₁B₁是边长为1的正方形，A在平面BCC₁B₁的射影恰为BB₁的中点D，E为B₁C₁的中点，AD=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求证：BE⊥AC；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接CD．由于A在平面BCC₁B₁的射影恰为BB₁的中点D，利用线面垂直的性质定理可得：AD⊥BE．利用三角形全等与正方形的性质可得：BE⊥CD．再利用线面垂直的判定定理即可得出．
（II）连接DC₁，AC₁．由（I）可得：AD⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理可得：C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，分别计算：${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}•{C}_{1}{B}_{1}•{{S}_{梯形AD{B}_{1}A}}_{1}$.${V}_{A-BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}•AD•{S}_{梯形BC{C}_{1}D}$．可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$+${V}_{A-BC{C}_{1}D}$．

解答 （I）证明：如图所示，连接CD．
∵A在平面BCC₁B₁的射影恰为BB₁的中点D，
∴AD⊥平面ABCD，
∴AD⊥BE．
又E为B₁C₁的中点，
∴Rt△BCD≌Rt△B₁BE，
∴∠BCD=∠B₁BE，
∴∠BDE+∠B₁BE=90°，
∴BE⊥CD．
又AD∩CD=D，
∴BE⊥平面ACD，
∴BE⊥AC．
（II）解：连接DC₁，AC₁．
由（I）可得：AD⊥平面ABCD，
∴平面ABB₁A₁⊥BCB₁C₁，
又C₁B₁⊥BB₁，
∴C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，
∴${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}•{C}_{1}{B}_{1}•{{S}_{梯形AD{B}_{1}A}}_{1}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{（1+\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{8}$．
${V}_{A-BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}•AD•{S}_{梯形BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{（\frac{1}{2}+1）×1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$+${V}_{A-BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三角形全等与正方形的性质、三棱锥与三棱柱的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．