Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• D． （1，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 如图所示，连接OE，OF，OM，由于△MEF为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b≤a，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，连接OE，OF，OM，
∵△MEF为正三角形，
∴∠OME=30°，
∴OM=2b，
则2b≤a，
∴$\frac{b}{a}≤\frac{1}{2}$，
∴椭圆C的离心率e=$\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$$≥\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又e＜1．
∴椭圆C的离心率的取值范围是$[\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．