Question

13．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通过∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，可得直线PQ过右焦点F₂且垂直于x轴，从而△F₁PQ为等边三角形，△F₁PF₂为直角三角形，计算即可•

解答 解：∵过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，
∴直线PQ过右焦点F₂且垂直于x轴，即△F₁PQ为等边三角形，△F₁PF₂为直角三角形，
∵F₁P+F₁Q+PQ=4a，∴F₁P+PF₂=2a，
又∵F₁P=2PF₂，F₁F₂=2c，
∴F₁P=$\frac{4}{3}a$，PF₂=$\frac{2}{3}a$，
由勾股定理，得$（\frac{4}{3}a）^{2}=（\frac{2}{3}a）^{2}+（2c）^{2}$，即a²=3c²，
∴e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$•

点评 本题考查椭圆的简单性质，勾股定理，挖掘隐含信息“直线PQ过右焦点F₂且垂直于x轴”是解决本题的关键，属于中档题．