Question

4．在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，且BC=CD=1，过点B作BH⊥AC，垂足为H，若BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求三棱维A-BCD的体积．

Answer 1

分析 证明平面ACD内的直线CD，垂直平面ABC内的两条相交直线AB，BC，即可证明CD⊥平面ABC，从而证明平面ACD⊥平面ABC，可得BH⊥平面ACD，求出S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出结论．

解答 证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，
设AB=a，在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{2}$，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1
△ACD中，AC=$\sqrt{2}$，CD=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴AC⊥CD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查锥体体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．