Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且$\frac{AE}{AB}$=k，点F为PD中点．
（Ⅰ）若k=$\frac{1}{2}$，求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=$\frac{1}{2}$，根据线面平行的判定定理即可证明直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）根据面面垂直的条件，进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，
∴FM=$\frac{1}{2}$CD．
∵k=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=FM，
又∵FM∥CD∥AB，
∴AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．…（6分）
（Ⅱ）存在常数k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，使得平面PED⊥平面PAB．…（8分）
∵$\frac{AE}{AB}=k$，AB=1，k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠DAB=45°，∴AB⊥DE．
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB．
又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，
∵AB?平面PAB，
∴平面PED⊥平面PAB．…（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判定依据面面垂直的应用，要求熟练掌握相应的判定定理．