Question

18．设函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），若f（x）有极值，则函数f（x）的值域为（a，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．

Answer 1

分析 由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．f（x）的极大值为f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域．

解答 解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f′（x）=a+$\frac{1}{x}$．
令f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=0，可得a=-$\frac{1}{x}$
∵x∈（1，e），∴-$\frac{1}{x}$∈（-1，-$\frac{1}{e}$）∴a∈（-1，-$\frac{1}{e}$）
又因为x∈（1，e），列表如下：

x	$（1，-\frac{1}{a}）$	$-\frac{1}{a}$	$（-\frac{1}{a}，e）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函数	极大值	减函数

所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为（-1，-$\frac{1}{e}$）．
可知f（x）的极大值为f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1，
由a≥ae+1，解得a≤$\frac{1}{1-e}$，又∵-1＜$\frac{1}{1-e}$＜-$\frac{1}{e}$，
∴当-1＜a≤$\frac{1}{1-e}$时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．
当$\frac{1}{1-e}$＜a＜-$\frac{1}{e}$时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．
故答案为：（a，-1+ln（-$\frac{1}{a}$）]．

点评 本题主要考查用导数来研究函数的单调性，极值，最值等问题，以及集合思想的应用．