Question

6．如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE²=DA•DB．

Answer 1

分析 欲证DE²=DB•DA，由于由切割线定理得DF²=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．

解答 证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF²=DB•DA．
所以DE²=DB•DA．（10分）

点评 本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题