Question

15．过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，且满足|AB|=10，则|x₂-x₁|=2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，讨论直线AB的方程：x=1或y=k（x-1），代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可求得k，进而运用配方，即可得到所求值．

解答 解：y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．
若直线AB：x=1，
则代入抛物线方程y²=4x，可得y=±2，|AB|=4不成立，
设直线AB：y=k（x-1），
代入抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$=10，
解得k²=$\frac{2}{3}$，
即有x₁+x₂=8，
则|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{64-4}$=2$\sqrt{15}$．
故答案为：2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题．