Question

20．设函数f（x）=x（x³-3），则f（x）在区间[0，2]上的最小值为$-\frac{9}{4}\root{3}{\frac{3}{4}}$．

Answer 1

分析 求导数可判函数的单调性，易得f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（$\root{3}{\frac{3}{4}}$），代值计算可得．

解答 解：∵函数f（x）=x（x³-3），
∴f′（x）=（x³-3）+x•3x²=4x³-3，
令f′（x）＞0可解得x＞$\root{3}{\frac{3}{4}}$，可得函数f（x）的单调递增区间为[$\root{3}{\frac{3}{4}}$，2]；
令f′（x）＜0可解得x＜$\root{3}{\frac{3}{4}}$，可得函数f（x）的单调递减区间为[0，$\root{3}{\frac{3}{4}}$]
∴f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（$\root{3}{\frac{3}{4}}$）=$-\frac{9}{4}\root{3}{\frac{3}{4}}$
故答案为：$-\frac{9}{4}\root{3}{\frac{3}{4}}$．

点评 本题考查导数法求函数的极值和最值，得出函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．