Question

10．如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F、G分别为CD₁、A₁B₁、B₁C₁的中点，则三棱锥A-EFG的体积为$\frac{{a}^{3}}{16}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，建立空间坐标系，求出所用点的坐标，利用向量求得E到平面AFG的距离，在利用正弦定理求出三角形AFG的面积，代入棱锥的体积公式求解．

解答 解：建立如图所示的空间坐标系，

则F（$\frac{a}{2}，0，0$），G（0，$\frac{a}{2}$，0），E（$\frac{a}{2}，a，\frac{a}{2}$），A（a，0，a），
∴$\overrightarrow{AF}=（-\frac{a}{2}，0，-a）$，$\overrightarrow{FG}=（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-\frac{a}{2}，a，-\frac{a}{2}）$．
设平面AFG的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}x-az=0}\\{-\frac{a}{2}x+\frac{a}{2}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=-2，y=-2，
∴$\overrightarrow{n}=（-2，-2，1）$，
则E到平面AFG的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{|-2×（-\frac{a}{2}）-2a-\frac{a}{2}|}{3}=\frac{a}{2}$．
∵$AF=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，AG=$\sqrt{2{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{3}{2}a$，
∴cos∠FAG=$\frac{\frac{5}{4}{a}^{2}+\frac{9}{4}{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}{2•\frac{\sqrt{5}}{2}a•\frac{3}{2}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则sin∠FAG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴${S}_{△AFG}=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}a•\frac{3}{2}a•\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3}{8}{a}^{2}$，
则V_A-EFG=V_E-AFG=$\frac{1}{3}•\frac{3}{8}{a}^{2}•\frac{a}{2}=\frac{{a}^{3}}{16}$．
故答案为：$\frac{{a}^{3}}{16}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．