Question

15．在等比数列{a_n}中；
（1）若a₁+a₂=81，a₃+a₄=9，则a₅+a₆=1
（2）若S_n为{a_n}的前n项和，S₄=2，S₈=6，则S₁₂=14．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列中a₁+a₂，a₃+a₄，a₅+a₆成等比数列，计算即可；
（2）根据等比数列中S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比数列，计算即可•

解答 解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$•
（1）∵a₁+a₂=81，a₃+a₄=9，
∴$\frac{{a}_{5}+{a}_{6}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{4}+{a}_{1}{q}^{5}}{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{1}q}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{4}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$
即a₅+a₆=$\frac{（{a}_{3}+{a}_{4}）^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{9×9}{81}$=1；
（2）∵数列{a_n}是等比数列，且S₄=2，S₈=6，
则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比数列，
∴$（{S}_{8}-{S}_{4}）^{2}={S}_{4}•（{S}_{12}-{S}_{8}）$，
即（6-2）²=2（S₁₂-6），解得：S₁₂=14．

点评 本题考查了等比数列的性质，关键是对性质的理解与记忆，解题时要认真审题，注意等比中项的求法，属于中档题．