Question

16．已知二次函数f（x）当x=$\frac{1}{2}$时有极值，函数图象过点（0，-1），且在该点处的切线与直线x-y=0垂直，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=xf（x），求g（x）的单调递减区间；
（3）设h（x）=（x+a）f（x），若对于任意a∈[-1，1]，h（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函数，求m和n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出函数f（x）的表达式，利用待定系数法求出a、b、c的值，从而求出函数f（x）的表达式；
（2）先求出g（x）的表达式，再求出g（x）的导数，解g′（x）＜0，从而求出g（x）的单调递减区间；
（3）先求出h（x）的导数，得到m、n是h′（x）=0的2个根，求出m、n的值，构造新函数，利用求导得到新函数的单调性，从而求出m、n的范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∴f′（x）=2ax+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=-1}\\{f′（\frac{1}{2}）=a+b=0}\\{f′（0）=b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-x-1；
（2）由g（x）=xf（x），
得：g（x）=x³-x²-x，
∴g′（x）=3x²-2x-1，
令g′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴函数g（x）在（-$\frac{1}{3}$，1）递减；
（3）h（x）=（x+a）（x²-x-1），
∴h′（x）=3x²+2（a-1）x-（a+1），
∴m、n是方程h′（x）=0的2个根，且m＜n，
解方程h′（x）=0，
得：m=$\frac{-（a-2）-\sqrt{{a}^{2}-a+7}}{3}$，n=$\frac{-（a-2）+\sqrt{{a}^{2}-a+7}}{3}$，
先求m的范围，不妨设m（a）=-（a-2）-$\sqrt{{a}^{2}-a+7}$，
则m′（a）=-1-$\frac{2a-1}{2\sqrt{{a}^{2}-a+7}}$=$\frac{-2\sqrt{{a}^{2}-a+7}+1-2a}{2\sqrt{{a}^{2}-a+7}}$，
∵-1≤a≤1，∴-1≤1-2a≤3，而-2$\sqrt{{a}^{2}-a+7}$≤-3$\sqrt{3}$，
∴m′（a）＜0，
∴m（a）在[-1，1]单调递减，
∴m（a）_min=m（1）=1-$\sqrt{7}$，m（a）_max=m（-1）=0，
∴$\frac{1-\sqrt{7}}{3}$≤m≤0，
同理：$\frac{1+\sqrt{7}}{3}$≤n≤2．

点评 本题考查了导数的应用，二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，在求m、n的范围时，构造新函数，利用求导得到新函数的单调性是解题的关键，本题有一定的难度．