Question

6．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在线段AB与BC上，且满足：BE=BF=$\frac{1}{2}$BC，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，并连结PB．
（Ⅰ）求证：面PDF⊥面PEF；
（Ⅱ）求四棱锥P-BFDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折叠前四边形ABCD为正方形，可得折叠后PD⊥PE，PD⊥PF，结合线面垂直的判定定理可得PD⊥平面PEF，进而由面面垂直的判定定理，得到答案．
（Ⅱ）当BE=BF=$\frac{1}{4}$BC时，计算出△EFD，△EFB的面积，点P到平面BEDF的距离，进而求四棱锥P-BEDF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：折起前AD⊥AE，CD⊥CF，

折起后，PD⊥PE，PD⊥PF．（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，（4分）
∵PD?平面PDF，∴面PDF⊥面PEF；（6分）
（Ⅱ）解：当BE=BF=$\frac{1}{2}$BC时，由（1）可得PD⊥平面PEF．（7分）
此时，$EF=\sqrt{2}$，S_△BEF=$\frac{1}{2}$，S_△ADE=S_△CDF=$\frac{1}{2}×1×2$=1．（8分）
△PEF的高为h₁=$\sqrt{P{F}^{2}-（\frac{EF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（9分）
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}EF•{h}_{1}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$（10分）
∴V_D-PEF=$\frac{1}{3}{S}_{△PEF}•DP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2$=$\frac{1}{3}$（11分）
∵S_△DEF=S_ABCD-S_△BEF-S_△ADE-S_△CDF=4-$\frac{1}{2}$-1-1=$\frac{3}{2}$（12分）
设点P到平面BEDF的距离为h，则V_P-DEF=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•h$=$\frac{1}{2}$h
∵V_D-PEF=V_P-DEF，∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$h，
解得h=$\frac{2}{3}$（13分）
∴四棱锥P-BEDF的体积V_P-BEDF=$\frac{1}{3}$（S_△DEF+S_△BEF）h=$\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$．（14分）

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，点，线，面的距离计算，（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法的熟练应用．