Question

14．讨论lnx=x³-2ex²+mx方程根的个数．

Answer 1

分析 问题转化为直线y=m和函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$图象交点的个数，由导数法研究函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$的单调性可得．

解答 解：lnx=x³-2ex²+mx方程根的个数等价于x³-2ex²+mx-lnx=0的根的个数，
变形可得m=$\frac{-{x}^{3}+2e{x}^{2}+lnx}{x}$=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，即直线y=m和函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$图象交点的个数，
求导数可得y′=-2x+2e+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=-2（x-e）+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e）时，y′＞0，函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$单调递增；
当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$单调递减；
∴当x=e时，函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$取最大值e²+$\frac{1}{e}$，
又当x趋向于0或+∞时，函数值y趋向于-∞，
结合图象可得当m＜e²+$\frac{1}{e}$时，直线y=m和函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$图象交点的个数为2，即原方程有2个不等的实根；
当m=e²+$\frac{1}{e}$时，直线y=m和函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$图象交点的个数为1，即原方程有1个实根；
当m＞e²+$\frac{1}{e}$时，直线y=m和函数y=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$图象交点的个数为0，即原方程没有实根．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，转化为两图象的交点是解决问题的关键，属中档题．