Question

15．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2．
（1）证明：AC⊥B₁D；
（2）求三棱锥C-BDB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥平面BB₁D，即可证明AC⊥B₁D；
（2）利用等体积转化求三棱锥C-BDB₁的体积．

解答 证明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BB₁⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵AC⊥BD，BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BB₁D，
∵B₁D?平面BB₁D，
∴AC⊥B₁D，
（2）解：∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁是三棱锥B₁-BDC的高，
∴${V}_{C-BD{B}_{1}}$=${V}_{{B}_{1}-BDC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，利用等体积转化是关键．