Question

8．已知定义在{x|x≠k，k∈Z}上的奇函数f（x）对定义域内的任意实数x满足：f（-x）=f（x+2），且1＜x＜2时，f（x）=x³-x，则方程f（x）=6log₁₂x（x＞2）的解的个数为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由已知结合函数的性质求得函数的周期及函数在部分区间内的解析式，画出函数在一个周期内的大致图象，数形结合求得方程f（x）=6log₁₂x（x＞2）的解的个数．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且f（-x）=f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）．
∴函数f（x）的周期为4，
设x∈（-1，0），则x+2∈（1，2），
∴f（x）=-f（x+2）=-[（x+2）³-（x+2）]=-（x+2）³+（x+2）=-x³-6x²-11x-6，
对于函数f（x）=x³-x（1＜x＜2），
由f′（x）=3x²-1=0，可得f′（x）＞0（1＜x＜2），
∴f（x）在（1，2）上为增函数；
对于函数f（x）=-x³-6x²-11x-6（-1＜x＜0），
由f′（x）=-3x²-12x-11，可得f′（x）＜0（-1＜x＜0），
∴f（x）在（-1，0）上为减函数．
结合对称性可得函数f（x）在一个周期内的图象如图：

∵[2，12]包含的函数的两个半周期，则函数f（x）的图象与y=6log₁₂x（x＞2）的图象有4个交点．
即方程f（x）=6log₁₂x（x＞2）的解的个数为4．
故选：B．

点评 本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数解析式的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，综合性强，难度较大．