Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π，f（x）≤|f（$\frac{π}{3}$）|，对一切x∈R恒成立，且f（π）＞f（0）设x₁、x₂是集合{x|f（x）=0}中任意两个元素，且丨x₁-x₂丨的最小值为2π，则f（x）=（　　）

• A． sin（2x+$\frac{π}{3}$）
• B． sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$）
• C． sin（2π-$\frac{2π}{3}$）
• D． sin（$\frac{x}{2}-\frac{2π}{3}$）

Answer 1

分析 首先利用x₁、x₂是集合{x|f（x）=0}中任意两个元素，且丨x₁-x₂丨的最小值为2π，确定函数的周期，再利用函数的恒成立问题，进一步求出∅的值，再通过验证确定结果，最后求出函数的解析式．

解答 解：设x₁、x₂是集合{x|f（x）=0}中任意两个元素，且丨x₁-x₂丨的最小值为2π，
所以函数f（x）的周期为4π，
所以利用$T=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=$\frac{1}{2}$，
所以f（x）=$sin（\frac{x}{2}+∅）$
所以：$\left|f（\frac{π}{3}）\right|=|sin（\frac{π}{6}+∅）|$=1，
则：$\frac{π}{6}+∅=kπ+\frac{π}{2}$，
所以：$∅=kπ+\frac{π}{3}$，
又|φ|＜π，
所以：$∅=\frac{π}{3}或-\frac{2π}{3}$
当$∅=\frac{π}{3}时$，$f（x）=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$
所以：f（π）=$\frac{1}{2}$，f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不满足题意，
所以：当$∅=-\frac{2π}{3}$，代入关系式满足题意．
所以函数的关系式为：$f（x）=sin（\frac{x}{2}-\frac{2π}{3}）$，
故选：D

点评 本题考查的知识要点：利用函数的性质确定函数的关系式，主要考察函数的周期和最值得应用，另一方面还利用了相关的运算．