Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$
（1）证明：数列{b_n}是等差数列
（2）求数列{b_n}的通项公式
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，当n=1时，可得a₁．当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，即可证明；
（2）由（1）与等差数列的通项公式可得：b_n．
（3）由（1）（2）可得：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，即可得出a_n．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴当n=1时，${a}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，解得a₁=4．
当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，
a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
化为${a}_{n}-2{a}_{n-1}={2}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
（2）解：由（1）可得：b_n=2+（n-1）=n+1．
（3）解：由（1）（2）可得：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．