Question

5．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ACB=$\frac{π}{3}$，点D是线段BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设A₁B∩AB₁=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A₁C∥OD，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

解答 （1）证明：如图，
设A₁B∩AB₁=O，连接OD，
则OD为三角形A₁BC的中位线，
∴A₁C∥OD，OD⊆平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，
∵$4=A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BC•cos\frac{π}{3}≥$2AC•BC-AC•BC=AC•BC，
∴当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，
以D为原点建立如图所示坐标系，
则D（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B₁（0，-1，2），${A}_{1}（\sqrt{3}，0，2）$，
∴$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overline{D{B}_{1}}$=（0，-1，2），$\overline{D{A}_{1}}=（\sqrt{3}，0，2）$，
设平面AB₁D的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=2．
∴$\overrightarrow{n}=（0，2，1）$，
则直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值为sinθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$|=|$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}$|=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，训练了利用空间向量求线面角，属于中档题．