Question

10．若0＜a＜1，0＜b＜1，且满足（1-a）b²+a（1-b）²+ka（1-a）≥0恒成立的k的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 将不等式转化为$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$+k≥0，令t=（a+1-a）（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$），展开运用基本不等式即可求得最小值，即可得到k的范围．

解答 解：（1-a）b²+a（1-b）²+ka（1-a）≥0即为
$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$+k≥0，（0＜a＜1，0＜b＜1）
即有（a+1-a）（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$）≥-k，
令t=（a+1-a）（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$）=b²+（1-b）²+$\frac{{（1-a）b}^{2}}{a}$+$\frac{a（1-b）^{2}}{1-a}$
≥b²+（1-b）²+2b（1-b）=（b+1-b）²=1，
当且仅当a（1-b）=b（1-a）即a=b，取得等号．
则有t的最小值为1．
即有-k≤1，
解得k≥-1．
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求最值问题的方法，注意观察不等式的特点和运用乘1法和基本不等式是解题的关键．