Question

5．一种设备的价值为a元，设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元，用t表示设备使用的年数，且设备年平均维修、消耗费用与设备平均价值费用之和为y元，当a=450000，b=1000时，求这种设备的最佳更新年限（使用平均费用最低的t）．

Answer 1

分析 这种设备使用了t年，年平均设备维修、消耗费用为$\frac{b+2b+…+tb}{t}$=$\frac{b}{2}$ （t+1）（元）．而年平均设备价值费用为$\frac{a}{t}$（元）．从而y=$\frac{b}{2}$ （t+1）+$\frac{a}{t}$，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：这种设备使用了t年，年平均设备维修、消耗费用为$\frac{b+2b+…+tb}{t}$=$\frac{b}{2}$ （t+1）（元）．
而年平均设备价值费用为$\frac{a}{t}$（元）．
从而y=$\frac{b}{2}$ （t+1）+$\frac{a}{t}$=$\frac{b}{2}$+$\frac{bt}{2}$+$\frac{a}{t}$≥$\frac{b}{2}$+$\sqrt{2ab}$，当且仅当$\frac{bt}{2}$=$\frac{a}{t}$，即t=$\sqrt{\frac{2a}{b}}$时等号成立．
当a=450 000，b=1 000时，t=$\sqrt{\frac{2×450000}{1000}}$=30（年）．
因此，这种设备的最佳更新年限为30年．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，确定函数表达式是关键．