Question

1．设正数a，b满足ab+a+b-15=0
（1）求ab的最大值；
（2）求4a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正数a，b满足ab+a+b-15=0，利用基本不等式的性质可得：15$≥ab+2\sqrt{ab}$，解出即可；
（2）由正数a，b满足ab+a+b-15=0，化为b=$\frac{15-a}{a+1}$＞0，解得a范围．变形4a+b=4a+$\frac{15-a}{a+1}$=4（a+1）+$\frac{16}{a+1}$-5，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵正数a，b满足ab+a+b-15=0，
∴15$≥ab+2\sqrt{ab}$，化为$（\sqrt{ab}）^{2}+2\sqrt{ab}-15≤$0，解得$0＜\sqrt{ab}≤3$，即0＜ab≤9，当且仅当a=b=3时取等号．
∴ab的最大值为9．
（2）由正数a，b满足ab+a+b-15=0，化为b=$\frac{15-a}{a+1}$＞0，解得0＜a＜15．
∴4a+b=4a+$\frac{15-a}{a+1}$=4（a+1）+$\frac{16}{a+1}$-5≥4×$2\sqrt{（a+1）•\frac{4}{a+1}}$-5=11，当且仅当a=1，b=7时取等号．
∴4a+b的最小值为11．

点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．