Question

16．已知函数f（x）=2^x|2^x-a|-6．
（1）当a=0时，求满足f（x）=0的x值；
（2）当a=1时，解不等式f（x）＞0；
（3）若方程f（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=0可化为（2^x）²-6=0，解方程可得；
（2）当a=1时，不等式f（x）＞0可化为$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（{2}^{x}-1）＞6}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（1-{2}^{x}）＞6}\\{x＜0}\end{array}\right.$，解不等式组可得；
（3）问题转化为（2^x）²-a•2^x-6=0或（2^x）²-a•2^x+6=0有解，讨论二次方程正根的个数可得．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=0可化为（2^x）²-6=0，
即2^x=$\sqrt{6}$，解得x=$\frac{1}{2}$log₂6；
（2）当a=1时，不等式f（x）＞0可化为2^x|2^x-1|-6＞0，
可化为$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（{2}^{x}-1）＞6}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（1-{2}^{x}）＞6}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
令2^x=t，则t²-t-6＞0，解得t＞3，或t＜-2（舍去），
∴2^x＞3，解得x＞log₂3，
故第一个不等式组的解集为{x|x＞log₂3}，第二个为空集，
综合可得{x|x＞log₂3}；
（3）由f（x）=0可得2^x|2^x-a|=6有解，
去掉绝对值可得（2^x）²-a•2^x-6=0或（2^x）²-a•2^x+6=0有解，
上述方程可看作关于2^x的二次方程，
易知第一个方程中△＞0，a取任何实数，方程均有正根，符合题意，
要使第二个方程有正根，则需a≤0，
综上可得a的取值范围为a≤0

点评 本题考查绝对值不等式的解集，涉及分类讨论的思想，属中档题．