Question

4．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$）．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+t}\\{y=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的斜率；
（2）记Ω表示圆C内部在直线l下方的区域，A是Ω内一点，求|OA|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），展开为${ρ}^{2}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可的直角坐标方程；由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+t}\\{y=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t化为普通方程即可得出斜率k．
（2）由图形可得|OF|≤|OA|≤2R．联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{3}x-y}\\{y+\frac{1}{2}=\sqrt{3}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）}\end{array}\right.$，解得F．可得|OF|，即可得出．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），展开为${ρ}^{2}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ$，
∴x²+y²=$\sqrt{3}x-y$．
由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+t}\\{y=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）可得：$y+\frac{1}{2}=\sqrt{3}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得斜率k=$\sqrt{3}$．
（2）由图形可得|OF|≤|OA|≤2R．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{3}x-y}\\{y+\frac{1}{2}=\sqrt{3}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）}\end{array}\right.$，解得F$（\frac{\sqrt{3}+1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$．
∴|OF|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$≤|OA|≤2．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、直线参数方程的应用、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．