Question

19．关于x的方程x²+2（m+3）x+2m+14=0．
（1）有两个小于1的实根，求m的取值范围；
（2）有两个大于0的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）记函数f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，三个二次结合可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m+3）^{2}-4（2m+14）≥0}\\{-\frac{2（m+3）}{2}＜1}\\{f（1）=1+2（m+3）+2m+14＞0}\end{array}\right.$，解不等式组可得m的范围；
（2）同（1）可得$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{2（m+3）}{2}＞0}\\{f（0）=2m+14＞0}\end{array}\right.$，解不等式组可得．

解答 解：（1）记函数f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有两个小于1的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m+3）^{2}-4（2m+14）≥0}\\{-\frac{2（m+3）}{2}＜1}\\{f（1）=1+2（m+3）+2m+14＞0}\end{array}\right.$，
解不等式组可得m≥1；
（2）同（1）可得要使方程有两个大于0的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{2（m+3）}{2}＞0}\\{f（0）=2m+14＞0}\end{array}\right.$，
解不等式组可得-7＜m≤-5

点评 本题考查一元二次方程根的分布，与二次函数和二次不等式结合是解决问题的关键，属中档题．