Question

9．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（2）函数y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）a=-1时得出f（x），并对其配方，通过观察配方后的解析式即可得到f（x）的最大值和最小值；
（2）先求出二次函数f（x）的对称轴x=-a，由f（x）在[-5，5]上是单调函数及二次函数的单调性即可得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．

解答 解：（1）a=-1，f（x）=（x-1）²+1；
∴f（1）=1是f（x）的最小值，f（-5）=37是f（x）的最大值；
（2）f（x）的对称轴为x=-a；
∵f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
∴-a≤-5，或-a≥5；
∴a≥5，或a≤-5；
∴实数a的范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）．

点评 考查配方求二次函数在闭区间上的最值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．