Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，其前n项和为T_n，则T₂₀₁₄=$-\frac{3527}{6}$．

Answer 1

分析 由已知递推式得到a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，结合数列的首项求出前几项，可知数列{a_n}是周期为4的周期数列，则答案可求．

解答 ∵a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，
∴a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，
∵a₁=2，∴a₂=-3，a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2，…，
∴数列{a_n}是周期为4的周期数列，且${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=-\frac{7}{6}$，
∵2014=4×503+2，
∴T₂₀₁₄=-$\frac{7}{6}×503+2-3$=$-\frac{3527}{6}$．
故答案为：$-\frac{3527}{6}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，关键是对数列周期的发现，是中档题．