Question

10．已知侧棱垂直于底面且底面为正三角形的棱柱的体积为16，则其表面积取最小值时，底面边长为4．

Answer 1

分析 由题意设出直三棱柱的底面边长和高，由体积列式得到底面边长和高的关系，写出表面积，利用导数求最值并得到表面积最小时的底面边长．

解答 解：由题意可知，三棱柱为直三棱柱，
设其底面边长为a，高为h（a＞0，h＞0），
则$V=\frac{1}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a•h=16$，∴$h=\frac{64}{\sqrt{3}{a}^{2}}$，
则$S=3ah+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=$\frac{192}{\sqrt{3}a}+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
${S}^{′}=-\frac{192}{\sqrt{3}{a}^{2}}+\sqrt{3}a$，
由S′=0，得a=4．
∴当a∈（0，4）时，S′＜0，当a∈（4，+∞）时，S′＞0，
∴当a=4时S有最小值．
故答案为：4．

点评 本题考查了空间几何体的表面积和体积，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．